난류 운동 에너지 수송 방정식 (Turbulent Kinetic Energy Transport Equation)

레이놀즈 평균화된 나비에-스토크스 방정식을 통해 운동량(벡터)을 기술할 수 있고, 레이놀즈 응력 방정식을 통해 레이놀즈 응력이 어떻게 생성-확산-소산되는지 알 수 있었다. 한편 난류의 운동을 파악하는데 난류 운동 에너지 또한 난류 유동을 해석하는데 중요하다. 난류를 분석할 때 비선형 항과 변수가 많아 직접적으로 해를 구하기 어렵기 때문에, 복잡한 식을 닫기 위해 난류 운동 에너지 수송 방정식을 자주 사용한다. 대표적으로 모델링과 모델링을 이용하여 근사적으로 난류를 분석한다. 두 모델링 외에도 난류 점성 계수(Turbulence Stress), 난류 세기(Turbulence Intensity) 등의 난류 거동을 해석하는데 있어 난류 운동 에너지 방정식( Equation)을 많이 이용한다.

난류 운동 에너지 방정식의 유도

1. 레이놀즈 응력 방정식의 응용

먼저 레이놀즈 응력 방정식에서 레이놀즈 응력을 라고 하였는데, 난류 운동 에너지()를 레이놀즈 응력을 사용하여 다음과 같이 적을 수 있다:

따라서 레이놀즈 응력 방정식을 조금 수정하면 난류 운동 에너지 수송 방정식을 쉽게 유도할 수 있다.

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2. 난류 운동 에너지 수송 방정식의 유도

레이놀즈 응력 방정식은 다음과 같다:

ReynoldsStress

여기서 자유 인덱스인 와 를 라고 하면:

를 로 치환하면 다음과 같다.

TKEapprox

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난류 운동 에너지 방정식에서 각 항의 의미

turbulence

Sequence of turbulence transport

1. 난류의 시간에 따른 변화(Time rate of change of )

임의의 위치에서 시간에 따른 난류의 변화를 나타내는 항이다. 이는 난류의 물질 미분(Material derivative) 형식 중 시간에 따른 난류의 변화를 확인할 수 있는 항으로, 이면 이 위치에서 유체의 흐름이 비정상류(Unsteady flow) 임을 나타낸다. 그러나 그 역은 성립하지 않는데, 이어도 압력 또는 평균 유속 등이 시간에 따라 변화할 수 있기 때문이다. 어느 유체가 정상류일 조건은 나비에-스토크스 방정식의 주요 물리량에 대한 시간에 따른 변화율이 0이어야 한다.

2. 수송 항(Transport term)

난류 운동 에너지는 유체의 흐름에서 주변 공간으로 퍼져가는데, 이를 나타내는 항을 수송항이라고 한다. 수송 항에는 대류에 의한 수송, 압력에 의한 수송, 난류에 의한 수송, 점성에 의한 확산(수송) 이 있다.

3. 소산 항(Dissipation term)

난류 운동 에너지의 종착점으로, 매우 작은 난류 소용돌이가 더 이상 쪼개지지 않고, 점성에 의해 열 에너지로 전환되어 사라지는 것을 나타내는 항이다.

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난류 운동 에너지의 추가적인 유도

TKEapprox

이전에 유도했던 은 위와 같았다. 그러나 아래와 같은 추가적인 과정으로 난류 운동 에너지 방정식을 유도할 수 있다.

먼저 에서 점성에 의한 확산 항을 다음과 같은 과정으로 추가적으로 변환할 수 있다:

이 식을 TKEapprox 에 넣으면:

또한 변동 속도 텐서는 대칭 텐서인 변형률 텐서(shear rate tensor, ) 와 반대칭 텐서인 와도 텐서(vorticity tensor, ) 의 합으로 나타낼 수 있다:

여기서 와도 텐서는:

로 나타낼 수 있다. 따라서 는 다음과 같이 나타낼 수 있다:

는 변형률 텐서와 와도 텐서의 내적인데, 이때 의 대각 성분은 0이므로:

이를 다시 (1)식에 대입하면 아래와 같이 물리적 성질을 더 잘 파악할 수 있는 형태로 나타낼 수 있다:

TKEeqn

이렇게 표현하면 점성 확산 항과 소산 항에 변화가 생기게 되는데 두 항의 물리적 의미를 더 정교하게 표현할 수 있게 된다. 또한 소산 항이 소산율 와 정확히 연결될 수 있게 된다.

TKEapprox 와 TKEeqn 의 비교

아래는 TKEapprox 와 TKEeqn 의 점성 확산 항과 소산 항의 차이에 따라 비교한 표이다.

1. 점성 확산 항

구분	TKEapprox	TKEeqn
수식
표현	단순히 난류에너지의 그래디언트를 따라 공간적으로 확산된다고 표현	변형률 텐서 와 변동 속도의 상관 작용을 통해 확산한다고 표현
의미	스칼라의 공간 미분으로 모든 방향에 동일한 방식으로 확산 표현	벡터와 텐서를 사용하여 모든 공간 방향마다 점성 확산을 다르게 표현 가능
장점	계산이 간단, 모델에 쉽게 적용	정확한 점성 확산을 계산할 수 있음
단점	텐서 효과(방향성, 회전성 등)가 무시됨	복잡한 계산

2. 소산 항

구분	TKEapprox	TKEeqn
수식
표현	모든 변동 속도 기울기의 제곱을 고려 (대칭 + 반대칭 포함)	오직 대칭 텐서의 제곱만 고려 (비틀림은 소산에 기여하지 않음)
의미	소산에 불필요한 반대칭 성분도 고려하여 표현	소산에 필요한 대칭 텐서만으로 표현하여 물리적 의미를 더 정확하게 함
장점	-	소산율 와 정확히 연결
단점	비틀림 성분까지 포함해서 실제보다 과대 추정 가능	-

3. 방정식의 사용

구분	TKEapprox	TKEeqn
사용	RANS (특히 )	DNS,LES, 고급 RANS
수학적 표현	단순화된 스칼라 형태	텐서 및 보존형
계산 복잡도	낮음	높음
비등방성 반영	어려움	가능함
물리 해석 정밀도	낮음 (보정 필요)	높음
사용 목적	효율적 수치 해석	물리적 정확성