난류 운동 에너지 수송 방정식 (Turbulent Kinetic Energy Transport Equation)

레이놀즈 평균화된 나비에-스토크스 방정식의 레이놀즈 응력은 평균 운동량 수송을, 레이놀즈 응력 방정식은 각 응력 성분의 수송을 설명한다. 난류 운동 에너지 는 그 대각합을 하나의 스칼라로 요약한 양이다.

난류 운동 에너지 방정식의 유도

레이놀즈 응력 상관 텐서를

라고 하면, 난류 운동 에너지는 다음과 같다.

따라서 레이놀즈 응력 수송 방정식에서 로 두고 대각합을 취하면 TKE 수송 방정식을 얻는다. 아래 식은 비압축성, 일정한 점성계수의 유동에 대한 정확식이다.

TKE-gradient form

첫 번째 우변 항은 평균 유동에서 난류로 에너지가 전달되는 생성항이다. 두 번째 줄은 압력 확산, 난류 수송, 점성 확산을 합친 수송항이며, 마지막 줄은 속도구배로 표현한 소산항이다.

변형률 텐서 형태

변동 속도구배는 대칭 변형률 텐서와 반대칭 회전률 텐서로 분해된다.

는 대칭, 는 반대칭이므로 이다. 이 성질을 사용하면 위 식은 다음처럼 다시 쓸 수 있다.

TKE-strain form

여기서 소산율은

이다. 두 식은 근사식과 고정밀식의 관계가 아니라, 점성 확산과 소산을 다르게 묶은 동등한 정확식이다.

각 항의 의미

항	식	의미
비정상 항		고정 위치에서 TKE의 시간 변화
대류 항		평균 유동에 의한 TKE 이동
생성 항		평균 운동에너지에서 난류로의 전달
압력 확산		압력과 속도 요동의 상관에 의한 수송
난류 수송		난류 요동 자체에 의한 수송
점성 확산		점성 응력에 의한 수송
소산		점성 작용으로 난류 운동에너지가 내부에너지로 전환됨

난류 모형과의 관계

-, - 같은 RANS 모형은 위 정확식의 미지 수송항과 소산항을 모델링한다. DNS는 이를 직접 해상하려 하고, LES는 큰 스케일은 해상하고 작은 스케일의 영향을 모델링한다. 따라서 특정 표현식 하나가 특정 해석 기법에만 대응하는 것은 아니다.