속도구배의 변형과 회전

속도구배(velocity gradient, )

속도구배(velocity gradient, )는 공간 위치에 따른 속도 벡터의 변화율을 의미한다. 유체에서는 한 점 에서의 속도 를 다음과 같이 나타낸다.

여기서 는 각각 방향 속도이다.

속도장은 위치에 따라 달라질 수 있으므로, 속도구배는 각 속도 성분을 각 공간 방향으로 미분하여 얻는다.

이 글에서는 행이 속도 성분, 열이 좌표 방향인 표기, 즉 를 사용한다.

예를 들어

는 방향으로 이동했을 때 방향 속도 의 변화율을 나타낸다. 는 , 는 이므로 속도구배의 각 요소는 이다.

따라서 속도구배가 0이 아니면 이웃한 유체입자 사이에 국소적인 상대속도가 생긴다. 미소 변위 에 따른 상대속도는 1차 근사로

와 같이 나타낼 수 있다. 이러한 상대운동은 유체요소의 변형과 회전으로 나누어 볼 수 있으며, 속도구배는 다음과 같이 분해된다.

유체요소의 변형과 회전

유체역학에서 유체입자(fluid particle)는 충분히 작은 물질요소로, 국소적인 운동을 설명할 때 한 점처럼 취급한다. 한 점 주변에 아주 작은 유체 덩어리, 즉 유체요소(fluid element)를 생각해 보자. 유체요소 안의 유체입자들은 이웃한 입자들과 상대운동을 할 수 있으며, 이 상대운동의 두 가지 형태가 **변형(deformation)과 회전(rotation)**이다.

변형(deformation)

정사각형 유체요소를 생각해 보자. 유체요소를 이루는 입자들의 속도가 서로 다르면 유체요소의 선분 길이와 각도가 순간적으로 변할 수 있다. 이러한 길이와 각도의 변화가 변형이다.
와 그 전치행렬의 합인 는 대칭행렬이다. 이 연산은 속도구배에서 반대칭인 회전률 성분을 제외하고, 유체요소의 형상과 길이를 변화시키는 변형률률 성분을 추출한다.

위 이미지와 같이 유체입자가 가로방향으로 늘어난 것은 변형이다. 이는 변형률률 텐서 의 대각성분을 통해 확인할 수 있다. 의 대각성분은 normal strain rate를 나타내며, 해당 방향의 미소 선분 길이가 순간적으로 늘어나거나 줄어드는 정도와 관련된다. 이와 반대로 비대각 성분은 전단변형률률을 나타내며, 유체요소를 이루는 선분 사이의 각도를 변화시킨다. 비대각 성분 자체가 전단응력인 것은 아니며, 뉴턴 유체에서는 점성 전단응력이 예를 들어 와 같이 연결된다.

유체요소를 이루는 인접한 선분 사이의 각도가 에서 변화하면 전단변형이다. 전단응력은 유체의 구성방정식과 운동방정식에 따라 이러한 변형을 유발할 수 있지만, 속도구배의 관점에서는 비대각 대칭 성분이 전단변형률률을 나타낸다. 각도 변화와 함께 선분의 길이도 변할 수 있으므로, 전단변형은 유체요소의 형상 변화로 이해해야 한다.

정육면체의 유체요소에서 정의되는 3차원 변형률률 텐서가 위와 같다고 하자. 이때 대각성분인

는 각 좌표 방향의 미소 선분 길이 변화율을 나타낸다. 유체요소의 부피 변화율은 대각성분의 합으로 결정되며,

와 같이 쓸 수 있다.

반대로 비대각 성분의 변형률률

는 서로 대칭적으로 같은 값을 가지며, 유체요소의 형상과 인접한 선분 사이 각도의 변화를 나타내는 전단변형률률 성분이다. 이 대칭성은 변형률률 텐서의 성질을 뜻하며, 모멘트가 서로 상쇄된다는 뜻은 아니다.

회전(rotation)

유체요소 내부 입자들의 상대거리와 각도가 달라지는 변형과 달리, 반대칭 성분 만 따로 보면 유체요소는 순간적으로 강체처럼 회전하므로 상대거리와 각도를 보존하고 방향만 바꾼다. 는 속도구배의 회전률 또는 스핀(spin) 텐서이며, 어떤 모멘트가 직접 작용한다는 뜻은 아니다. 3차원에서 국소 각속도 벡터는

로 주어지며, 미소 변위 에 대한 회전 성분은 로 나타낼 수 있다.

이 행렬은 주대각선을 기준으로 서로 반대 부호를 갖는 반대칭행렬이며, 를 만족한다.

예시로 2차원 속도구배 가 다음과 같다고 하자.

만약 , 라고 하자. 아래 행렬의 수치도 모두 단위로 통일한다.

으로 적을 수 있고, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

이 상황에서 대각성분 이므로 , 축 방향의 정상 변형률률은 0이다. 또한

이므로 2차원 유체요소의 순간적인 면적 변화율도 0이다. 그러나 전단변형 때문에 유체요소의 형상과 주방향 선분의 길이는 변할 수 있다. 대칭 성분의 비대각 원소는 이며, 이는 텐서 전단변형률률이다. 공학적 전단률은 이다.

반대칭 성분은 , 이다. 오른손 좌표계를 사용하면 이때 국소 각속도 벡터는

이다. 와도(vorticity) 벡터는

이다. 라디안은 무차원이므로 각속도와 와도의 단위는 모두 로 쓸 수 있다.

유체요소의 속도구배와 변형률률 , 회전률 는 아래 이미지와 같이 나타낼 수 있다.

속도구배의 물리학적 의미

속도구배 는 간략하게 보이면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

속도구배는 변형률률과 회전률로 구성되며, 유체요소의 순간적이고 국소적인 상대운동을 나타내는 텐서라고 볼 수 있다. 즉, 속도구배는 유체가 흐르는 한 점 주변에서 서로 가까운 유체입자들의 상대운동을 결정하는 텐서로 정리할 수 있다. 속도구배 자체는 유체요소 전체의 병진속도는 나타내지 않는다.

유체요소의 전체 운동은 유체요소 전체가 이동하는 병진 운동과, 요소 내부 입자 사이의 상대운동인 회전 운동 및 변형 운동으로 구분할 수 있다. 이 중 국소적인 회전과 변형은 속도구배를 통해 확인할 수 있다.