레이놀즈 분해

어떤 물리량을 측정할 때에 자주 수행하는 것이 평균이다. 어떤 것을 측정할 때에는 항상 오차가 있고, 그 오차를 줄이는 방법 중 하나가 측정을 반복해서 그 값들에 평균을 취하는 것이다. 그리고 통계에서 배웠듯이 편차들을 이용해 분산과 표준편차를 이용해 정확도를 따진다. 이처럼 평균은 이전부터 많이 사용하던 통계 방식 중 하나이다.

유체역학과 난류를 연구할 때에도 평균이 많이 사용된다. 특히 유체의 경우 난류가 발생하게 되면, 어느 한 점에서의 유속이 매우 불규칙한데, 이를 해석하기란 쉽지 않다. 또한 한번의 측정으로 불규칙한 유동을 설명하는 것은 매우 어렵기 때문에 레이놀즈 분해(Reynold’s Decomposition)를 이용하여 유동을 해석하게 된다.

레이놀즈 분해는 임의의 값을 평균성분과 유동성분으로 분해하는 것이다. 임의의 유동성분 에 대하여:

: 시간 또는 공간으로 평균화된 유속값
: 순간적인 유속값에서 평균값을 뺀 값으로, 시간, 공간에 따라 변화하는 값

시간 평균, 공간 평균 (Time Average, Spacial Average)

유체역학과 난류에서는 평균을 많이 사용하는데, 평균을 내는 방법으로는 시간 평균과 공간 평균이 있다. 어느 물리량을 측정할 때, 측정의 기준을 잡게 되는데, 보통 시간에 따라 측정하거나, 공간에 따라 측정하게 된다. 시간에 따라 측정할 때에는 위치를 고정하고 그 위치에서 시간에 따라 측정하게 되는데, 대표적으로 어느 한 점에서의 유속을 알고싶을 때 사용한다. 어떤 시간에 따라 변하는 물리량 의 시간 평균은 다음과 같이 정의된다:

: 시간에 따라 변하는 유동 변수 (속도, 압력 등)
: 평균을 취하는 시간 간격 (충분히 길어야 요동이 통계적으로 안정됨)
: 평균을 시각하는 시간
: 시간 평균값

그러나 현실적으로 는 불가능하므로, 다음과 같이 유한 시간에 대해 평균을 계산한다.

또는 이산 시간 샘플에서 계산할 때는 다음과 같은 합으로 근사:

: 측정한 샘플 수
: 각 시간 점

그림은 1000개의 혼돈스러운 속도 성분의 순간적인 측정을 보여준다.

반면에 공간에 따라 측정할 때에는 시간을 고정하고 그 공간 전체에서 평균을 내게 되는데, 대표적으로 파이프를 타고 이동하는 유체의 유량을 측정할 때 사용한다. 특히 파이프처럼 하나의 축을 기준으로 일정하게 유체가 흐를 때 공간 평균이 유용한데, 단면에 흐르는 유체의 속도가 위치마다 다른 상황에서 이를 공간으로 평균을 내어 공간 전체에서의 단일한 유속을 얻을 수 있다. 어떤 물리량 가 공간 상에 분포할 때, 그 공간 평균은 다음과 같이 정의된다:

: 유속, 압력, 온도 등의 임의의 유동 변수
: 평균을 취하는 공간 영역 (예: 관 내부, 층류 경계층의 일부 등)
: 공간 평균을 의미하는 기호
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다음의 표는 시간 평균과 공간 평균을 비교한 표이다.

구분	시간 평균	공간 평균
정의	특정 위치에서 시간에 따라 평균	특정 시간에 공간 전체에서 평균
수식
사용 예	실험 측정 데이터 평균화	이론적/수치 해석에서 균일 유동 가정시
장점	센서가 한 위치에서 쉽게 계측	유동이 주어진 방향으로 균일할 때 빠르게 처리 가능

시간평균은 오일러 좌표계에서 임의의 측점에서의 측정값을 시간에 따라 평균을 내는 것이고, 공간평균은 임의의 시간에 대해 어느 공간의 전체 측정값을 공간에 따라 평균을 내는 것이다.

분해의 장점

레이놀즈 분해를 사용하는 이유는 **복잡한 난류 유동 (turbulent flow)**을 더 다루기 쉬운 형태로 바꾸기 위해서이다. 핵심 목적은 시간/공간에 따라 요동하는 유동을 평균(여기서는 시간 평균) 흐름과 요동 흐름으로 나누어, 예측가능한 평균 흐름을 중심으로 해석과 모델링을 가능하게 만드는 것이다.

1. 난류는 계산하기 너무 복잡하다.

실제 유체의 난류는 미세한 스케일에서 빠르게 요동하며, 수많은 자유도와 비선형 상호작용이 발생하지만, 그럼에도 불구하고 난류 효과는 날씨나 유동에 있어서 무시할 수 없는 효과이다. 이를 해석하려면 DNS(Direct Numerical Simulation)을 사용해야하지만 평균 성분과 변동 성분을 분해하지 않으면 DNS의 계산 비용이 매우 커진다.

2. 평균 흐름만으로 실용적인 분석이 가능하다.

우리가 알고 싶은 건 대체로 **“평균값( 평균 유속, 평균 압력 분포, 평균 항력 등)“**이어서, 이들은 평균 방정식(RANS)에 의해 계산할 수 있고, 요동은 통계적인 모델링으로 계산할 수 있다.

3. 통계적 해석이 가능하다.

Reynolds 분해 이후 각 항의 평균과 분산, 공분산 등을 계산할 수 있게 되며, 이로부터 레이놀즈 응력을 정의하고 난류 모형을 설계할 수 있다.

4. RANS 방정식 유도가 가능하다.

나비에-스토크스 방정식에 레이놀즈 분해를 적용하면 Reynolds-Averaged Navier-Stokes quations(RANS) 방정식이 유도되며, 이 방정식을 통해 난륭 평균 흐름을 예측할 수 있는 실용적인 도구로 활용된다. 또한 변동 유속만으로 레이놀즈 응력을 정의하고 난류 모형을 설계할 수 있다.

평균의 특성

난류에서 시간평균을 자주 사용하게 되는데, 이때 레이놀즈 분해를 통해 항을 분해하게 되면서 각 항들이 평균이 취해지고, 평균 성분과 변동성분의 곱이 섞이는 등의 계산이 나오게 된다. 이런 항들을 적절히 계산하려면 평균의 특성을 잘 이용해야 방정식의 유도나 각 항들의 특성을 이해하는데 큰 도움이 된다. 평균(레이놀즈 평균 포함)은 다음의 성질을 만족한다.

1. 선형성 (linearity)

상수 는 평균 밖으로 나올 수 있다.
벡터 평균, 텐서 평균에도 그대로 적용된다.

2. 상수 불변성 (Invariance of Constants)

시간, 공간, 앙상블에 상관없이 변하지 않는 값은 평균 내도 그대로다.

3. 평균의 평균은 자기 자신

다시 평균 내도 더 이상 바뀌지 않는 안정된 값이라는 뜻이다.

4. 편차의 평균은 0

Reynolds 분해의 정의에서 항상 성립한다.
즉, 평균 성분에서 얼마나 벗어났는지를 나타내는 변동 성분은 평균이 0이다.

5. 평균과 편차는 직교(uncorrelated)

평균 성분과과 변동 성분은 통계적으로 독립이다.
편차는 평균값에 더 이상 영향을 주지 않는다.
물리적 의미: 둘의 곱이 0이라는 건, 변동 성분이 평균 성분에 대해 전형 일정한 방향성을 갖지 않고 무작위적으로 퍼져있다는 뜻이다. 따라서 변동 성분은 평균에 대해 상관이 없고, 에너지는 가질 수 있지만 방향성은 갖지 않는다.

6. 곱의 평균 각 평균의 곱

같아지려면 가 독립(uncorrelated)해야 한다.
예:

7. Covariance ()의 정의

는 상관성(직교성 여부)을 판단할 수 있는 식이다.

8. 미분과 평균의 교환 조건

시간 평균 또는 공간 평균과 미분 연산은 일반적으로 교환 가능하다.

시간 평균과 시간 미분:

$평 균 이 시 간 에 따 라 변 하 면$

공간 평균과 미분:

$단 불 균 일 경 계 조 건 이 있 으 면 성 립 하 지 않 을 수 있 음$

소개하지 않은 성질도 포함하여 정리하면 다음 표와 같다.

번호	성질 이름	의미
1	선형성	평균 연산자 자체가 선형
2	상수 불변성	상수는 평균과 무관
3	평균의 평균	평균 안정성
4	편차 평균 0	편차 정의에 따라
5	직교성	통계적 독립
6	곱 평균 불일치	교차항 생김
7	분산 ≥ 0	요동 에너지 해석
8	공분산 정의	상관성 판단
9	함수 평균 비선형성	평균 연산과 비선형 연산 교환 불가
10	미분과 평균 교환	연산 순서 교체 가능 (일반 조건 하에)

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