행렬과 특징적인 행렬

중학생 수학시간에 미지수가 2개 있고, 그 미지수의 수 만큼 식이 있으면, 미지수의 값을 풀 수 있다고 배웠을 것이다. 이런 연립방정식은 이공계에서도 많이 사용된다. 물론 중학생 때 열심히 풀언던 것보다는 미지수도 많고, 방정식도 복잡하다. 그러나 푸는 방법은 여전히 동일하다. 물론 모든 미지수의 차수가 1차인 선형일때 말이다.

위의 식을 보면 하나의 식이 엄청 길기도 하거니와 식이 긴만큼 방정식의 수도 많아진다. 이렇게 되면 계수와 미지수가 많아질수록 머리가 아파지고 보기 싫어지는 법이다. 너무 많은게 하나의 연립방정식으로 묶여 있어서 언뜻보면 햇갈리기도 한다. 그래서 계수는 계수끼리 묶고, 변수는 변수끼리 묶고, 해는 해끼리 묶는 방법으로 직관적으로 나타내면 어떨까? 이를 위해 **“묶음”**을 만들게되는데, 이 **“묶음”**의 이름이 **행렬(Matrix)**이다. 그리고 이 행렬은 선형대수학에서 필수적으로 사용된다. 그 외에도 데이터베이스, AI 학습에도 자주 사용되므로 알아두면 유용하게 쓰일 수 있다.

1. 행렬의 기본적 성질

(1)식에서 는 계수를 의미하고, 는 미지수를 의미하며, 는 주어진 상수이다. 이 때, 미지수와 식의 개수가 개 있기 대문에 원 연립 선형 방정식(system of simultaneous linear equation of order ) 또는 원 연립 방정식이라 한다. 항과 식이 매우 많기 때문에 행렬을 이용하여 일반화된 연립 선형 방정식의 해를 구한다. (1)을 행렬로 나타내면:

이때 는 각각 다음과 같다.

(1)식과 달리 (2)식은 매우 간결하게 표현할 수 있다. 또한 (2)식과 같이 요소를 간결하게 만들면 방정식의 구조가 선형 방정식임을 쉽게 알 수 있게된다.

1. 행렬의 정의

행렬이란 원소(element)들을 행(row)과 열(column)로 질서 정연하게 직사각형 또는 정사각형 배열로 늘어놓은 것을 말한다. 행렬에서 원소의 값과 배열의 위치는 매우 중요하다. 개의 행과 의 열로 구성되어 있는 행렬을 ” 행렬”이라고 부른다. (2)식에서 는 행과 열이 각각 개 있으므로 행렬이다. 또한, 행렬 의 원소 ""에 대하여 는 번째 행, 는 번째 열을 의미하며, 둘이 뒤바뀌지 않도록 주의한다. 일 때의 원소, 혹은 을 의 대각 성분(diagonal entry)이라고 한다.

2. 행렬에서 주로 사용되는 특별한 행렬

행렬에는 자주 사용하는 행렬이 있는데, 이는 다음과 같다.

1. 벡터 (Vector)

한개의 행 또는 열만을 가지는 행렬을 “행벡터(row vector) / 열벡터(column vector)” 라고 한다.
아래에서 하나의 행을 가지는 “행렬 “가 행벡터이고, 하나의 열을 가지는 “행렬 ” 가 열벡터이다.

2. 정방행렬 (Square matrix)

행과 열의 수가 같은 행렬이다. 행렬 는 행과 열의 수가 모두 으로 동일한 정방행렬이다.

3. 대각행렬 (Diagonal matrix)

주 대각선 원소 "" 를 제외한 모든 원소가 0인 정방 행렬이다.

4. 단위행렬 (Identity matrix)

주 대각선 원소 "" 인 정방 행렬이다. 단위 행렬은 행렬곱에서 실수곱의 “1”과 같은 역할을 하는 행렬이다.

여기서 임의의 행렬 가 있을 때 다음의 행렬곱이 성립한다.

5. 상삼각행렬 (Upper triangular matrix)

주 대각선 원소의 아래에 있는 모든 원소가 0()인 행렬이다.

6. 하삼각행렬 (Lower triangular matrix)

주 대각선 원소의 위에 있는 모든 원소가 0()인 행렬이다.

7. 전치행렬 (Transposed matrix)

행과 열을 서로 바꾸어 나열한 행렬이다. 어떤 행렬 가 있을 때 그 전치행렬인 은 다음과 같다.

8. 대칭행렬 (Symmetric matrix)

인 행렬이다. 이다.

9. 직교행렬 (Orthogonal matrix)

또는 인 행렬이다.

참고

직교행렬 와 행렬 의 곱셈에 대한 역원인 역행렬 은 다르다.
이지만, 이건 행렬 가 정의되어 있을 때 생길 수 있는 그 역원이고, 직교행렬은 위의 특성을 지닌 하나의 행렬이다.

10. 영행렬 (Zero matrix, null matrix)

모든 성분이 0인 행렬이다.

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3. 대각 지배성 (Diagonally dominant)

모든 행에 대해 주대각선의 성분이 자신을 제외한 성분들에 대해 우위를 갖는 정사각행렬을 대각지배행렬(Diagonally dominant matrix)라고 하며, 대각지배행렬은 모든 행에 대해 대각 지배성이 있다고 말한다. 대각 지배성은 다음과 같이 정의된다.

대각 지배성

대각지배성은 해의 초기 추정치를 가정하고, 체계적인 절차로 미리 설정한 허용오차 한계 내로 들어올 때까지 반복하여 요구되는 근사해를 구하는 방법인 반복법에서 사용된다.