행렬의 연산

행렬의 기본적인 연산은 덧셈, 뺄셈, 곱셈이 있다. 행렬의 나눗셈은 존재하지 않는다.

1. 행렬의 덧셈과 뺄셈

행렬의 덧셈과 뺄셈은 두 행렬의 크기가 같은 행렬 사이에서만 이루어지고, 그 연산은 각 행렬의 대응 원소들끼리 각각 덧셈과 뺄셈을 하면 된다.

예시

행렬 가 다음과 같을 때 두 행렬의 덧셈과 뺄셈의 결과인 행렬 는:

일 때,

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2. 행렬의 곱셈

행렬의 곱셈은 행렬의 덧셈, 뺄셈과 달리 약간 부자연스럽게 정의된다. 행렬의 곱셈은 두 행렬 중 앞 행렬의 열의 수와 뒤 행렬의 행의 수가 같아야 정의된다. 임의의 두 행렬 가 있을 때, 앞 행렬 의 크기가 이고 뒤 행렬 의 크기가 일 때, 이어야 행렬의 곱셈이 가능하다. 또한 두 행렬의 곱의 결과가 행렬 인 경우, 행렬 의 크기는 이다.

여기서 의 원소 는 행렬 의 번째 행과 행렬 의 번째 열에 각각 대응하는 원소들을 곱하고, 그 합으로 나타낸다. 즉,

따라서 행렬의 곱셈 를 나타내면 다음과 같다.

행렬의 곱셈

예시

행렬 와 가 각각 다음과 같은 때 두 행렬의 곱은 행렬 와 같다.

일 때, 행렬 는:

행렬의 곱이 실수의 곱과 다른 이유

행렬의 곱연산이 일반적인 실수의 곱과 다른 이유는 선형변환과 행렬 사이의 함수의 합성과 곱을 자유롭게 오갈 수 있도록 하기 때문이다. 행렬의 곱은 어떤 좌표계에 대하여 선형 변환을 일으킨다.