코벡터는 벡터와 쌍을 이루는 수학적 대상으로, 벡터 공간의 이중공간(dual space) 에 속하는 개체이다. 간단하게 표현하면, **벡터를 입력받아 스칼라를 출력하는 선형 함수(Linear functional)**이다. One-form의 정의 또한 ‘벡터에 작용하며 실수를 출력하는 선형함수’ 으로서, 선형함수에서 적용되는 코벡터와 달리 ,곡률이 있는(비선형의) 공간에서 좌표독립적으로 정의된 개념이다.
벡터: 방향과 크기를 가진 기하학적 대상 ()
코벡터: 벡터를 입력받아 실수를 출력하는 선형함수 ()
예시
벡터 공간이면:
벡터
코벡터
이때 코벡터가 벡터에 작용하면:
즉, 코벡터는 벡터에 작용해서 스칼라를 출력하는 선형 함수이다.
벡터와의 상관관계
벡터와 코벡터는 서로 쌍대적인(Duality) 관계를 가지고 있으며, 이는 유클리드 공간에서 코벡터 와 벡터 가 있을 때:
이 구조는 코벡터 가 벡터 를 **평가(evaluation)**하여 스칼라 값을 출력한다. 또한 코벡터는 어떤 벡터공간이 존재할 때 그 벡터공간의 쌍대공간이기 때문에, 코벡터는 벡터공간이 정의되면 언제나 존재한다.
메트릭 텐서 (Metric Tensor/Riemannian Metric)
메트릭 텐서 는 (0, 2)형 텐서장으로, 두 벡터를 받아 실수를 출력하는 텐서이다. 이를 좌표계에서 쓰면:
즉, 메트릭 텐서란, “내적(inner product)“을 각 점마다 정의해주는 수학적 객체이다. 다르게 말하면 내적을 좌표적으로 표현한 텐서장이다. 메트릭 텐서는 벡터 공간과 이중 공간 사이에서 대응시켜주는 텐서라고 할 수 있다. 만약 어떤 좌표계(다양체)에서 메트릭 텐서 가 정의되어 있다면 그 좌표계에서는 내적을 이용하여 코벡터를 계산할 수 있다.
코벡터 계산과 내적은 밀접한 관련이 있는데, 코벡터 가 벡터에 대한 선형 곱셈이라면, 내적은 그 선형 곱셈의 규칙을 정의했다고 생각하면 된다. 또한 그 곱셈의 규칙은 메트릭 텐서 를 통해서 규칙을 정한다. 정리하자면 다음 표와 같다.
항목
작용 방식
코벡터
벡터에 대한 선형 곱셈
내적
“벡터 벡터 스칼라”에 대한 곱셈 규칙 정의
메트릭 텐서
내적의 구현자, 좌표에서 곱셈 방식 정함
또한 어떤 공간에서 메트릭 텐서가 존재한다면 하나의 벡터를 코벡터로 변환( 변환)할 수 있고, 반대로 하나의 코벡터를 벡터로 변환( 변환)할 수 있다.
변환: 벡터 → 코벡터
(벡터)
(코벡터)
의미: 벡터 를 One-form으로 바꾸는 것
변환: 코벡터 → 벡터
(코벡터)
(벡터)
의미: One-form이 어떤 “기준 방향”을 평가하는지를 벡터 형태로 복원(가장 높은 값을 줄 수 있는 방향벡터로 복원)
두 변환은 서로 역함수 관계이다:
즉, 메트릭이 존재하면 벡터와 코벡터는 1:1 대응이 가능해진다.
유클리드 좌표계에서
유클리드 좌표계(직교 좌표계)에서 메트릭 텐서 는 이어서 어떤 유클리드 공간의 차원이 일 때 그 유클리드 공간의 메트릭 텐서 는 의 단위행렬이다. 유클리드 공간에서 코벡터 와 벡터 가 존재할 때, 코벡터 계산은 다음과 같다.
여기에서 는 를 변환한 벡터이다. 따라서 유클리드 좌표계에서 코벡터 계산은 단순 내적 계산이며, 코벡터는 벡터의 전치라고 봐도 무방하다. 이는 벡터와 코벡터의 구분을 혼동하게 만드는데, 서로의 성분이 같기 때문이다.
예시
어떤 차원 공간에서 인 벡터가 있을 때 이를 코벡터 성분으로 변환하면:
변환 계산을 성분 수준에서 할 때는, 선형 연립방정식처럼 보이므로 열벡터 형태로 정리되었지만, 코벡터를 적용할 때에는 다음과 같다.
와 의 성분이 같으므로 유클리드 공간에서 벡터와 코벡터가 혼동하는 경우가 잦다. 그러나 둘은 엄연히 명확히 다른 공간에서 존재하며, 코벡터는 벡터에 적용하여 을 출력하는 선형 함수라는 사실을 분명히 해야한다.
비유클리드 좌표계(리만다양체)에서
리만다양체에서는 일반적인 유클리드 공간에 비해 메트릭 텐서 가 위치마다 다르며, 일반적인 곡률도 다루기 때문에 일반적인 벡터 내적 연산으로 계산이 불가능하다. 따라서 리만다양체에서 코벡터 계산의 단계는 다음과 같다.
1. 리만 다양체 설정
: -차원 리만 다양체
: 위의 점
: 점 위의 접공간 (벡터 집합)
벡터
: 점 위의 쌍대공간 (코벡터 집합)
코벡터
2. 메트릭 텐서 정의
리만다양체에서는 점 마다 메트릭 텐서 가 존재하며, 이를 통해 다음과 같이 정의된다.
즉, 두 벡터 에 대해 다음과 같이 내적을 정의할 수 있다.
3. 코벡터 연산
코벡터 에서 임의의 벡터 에 대해 코벡터 계산을 수행하면:
4. 예시
리만다양체에서 메트릭 텐서 가 있고, 어떤 점 에서 벡터 일 때, 각 점에서의 코벡터 의 성분을 계산하면 다음과 같다.
에서의 코벡터 성분 계산
에서의 메트릭 텐서는 이고, 이때 코벡터 은 다음과 같다.
벡터가 열벡터일 때 코벡터는 행백터이므로 이다.
에서의 코벡터 성분 계산
에서의 메트릭 텐서는 이고, 이때 코벡터 는 다음과 같다.
여기서 코벡터는 행벡터이므로 코벡터 이다. 이를 통해 리만다양체에서 각 점에서의 코벡터 성분이 변함을 볼 수 있다.
순수 위상다양체에서
메트릭 텐서가 정의되지 않는 순수 위상다양체에서는 내적을 정의할 수 없다. 따라서 벡터와 코벡터의 변환이 이루어질 수 없는데, 이때문에 벡터공간 와 코벡터공간 는 완전히 별개 세계로 남게된다. 그러나 벡터집합이 존재하는 한 그 벡터의 선형함수인 코벡터집합이 쌍대공간으로써 존재하기 때문이다. 그 이유는 전술했듯이 코벡터는 **“어떤 벡터에 대해, 어떤 선형 결과를 낼 것인가”**를 정하는 함수일 뿐이기 때문이다. 따라서 내적이 없이도 정의 가능하기에 순수 위상다양체에서도 코벡터는 존재한다.
물리학/기하학에서의 의미
벡터가 위치 변화량, 속도, 힘처럼 방향성과 크기가 있는 양이라면, 코벡터는 기울기(gradient), 전기 퍼텐셜의 변화율 등 스칼라장의 변화율이다.
기울기/Gradient()
물리학에서 의 의미는 “변화의 방향성과 크기”를 지닌 실체로서 쓰이며, 이는 코벡터의 의미와 매우 밀접하다. 먼저 코벡터는 벡터에 작용해서 스칼라를 출력하는 선형 함수인데, 또한 벡터에 작용해서 스칼라를 출력하기 때문에 본질적으로 코벡터이다.
먼저 어떤 스칼라장 에서의 변화율을 알아보기 위해 전미분 를 생각해보면:
이때 는 벡터 에 작용하여 벡터 의 방향의 변화율을 보여주는 선형함수이다. 따라서 전미분 는 코벡터이다. 한편, 는 다음과 같이 나타낼 수 있는데:
이는 단순한 좌표 성분이 아니라, 스칼라 함수 의 전미분 의 성분과 똑같다. 그 이유는 는 를 변환하여 만들어진 벡터이기 때문이다. 따라서 를 다음과 같이 정의할 수 있다.
이는 가 코벡터 를 기반으로 생성된 벡터이며, 본질적으로 코벡터라는 소리이다. 그럼 코벡터 를 변환하여 얻어진 의 의미는 무엇일까? 의 방향은 가 가장 빠르게 증가하는 방향이며, 그 크기는 얼마나 빨리 증가하는지를 나타낸다. 코벡터 를 변환하여 만들어진 벡터 는 코벡터 를 가장 민감하게 반응하게 할 수 있는 방향벡터를 찾는 과정이라고 할 수 있다. 또한 그 크기는 코벡터의 최댓값을 나타낸다.
전미분(), 방향도함수(), Gradient() 의 차이
어떤 스칼라장 에서의 전미분 , 방향도함수 , Gradient 사이에는 비슷하지만 각각 조그마한 차이가 있는데, 전미분 는 코벡터로서 벡터에 작용하여 스칼라 값을 출력하는 선형 함수와 같다. 방향도함수 는 가 벡터 가 작용하여 벡터 방향의 변화율을 나타내는 스칼라값이다. 한편, Gradient 는 전미분 를 변환하여 코벡터로부터 정의된 벡터이다. 이를 표로 나타내면 다음과 같다.
구분
차원
의미
비유
벡터에 작용하여 스칼라 값을 출력하는 선형 함수
센서
가 벡터 에 작용하여 출력된 방향으로의 변화율 값
방향에서의 센서 출력값
가 가장 민감하게 반응하는 방향과 최대값
센서가 가장 크게 반응하는 방향과 그 출력값
이중 공간
어떤 벡터 공간 가 있을 때, 그 이중 공간는 다음과 같이 정의된다.
여기서 는 벡터 의 원소를 받아서 실수값을 출력하는 코벡터이다. 이중 공간은 어떠한 벡터 공간 가 있을 때, 벡터들의 코벡터가 있는 집합 공간이라고 할 수 있다. 즉, 모든 벡터 공간 은 모든 선형 형태로 구성된 해당 이중 벡터 공간이 존재한다.
코벡터의 집합이 이중공간인 이유는 라는 벡터 공간이 있으면, 그 위에 작용하는 선형함수들의 집합을 생각할 수 있는데, 그것이 또 하나의 벡터 공간을 이루기 때문이다.
즉, 원래의 벡터 공간 에 대해: