나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes Equations)

연속 방정식(Continuity Equations)

와 의 내적의 의미는 유속이 한 점에서 발산 하는 것을 의미한다. 이는 유체가 한 점에서 압축 또는 인장을 의미하기 때문에, 비압축성 유체의 경우 이다.

유체역학에서 오일러 방정식은 비점성 유체의 운동량에 관해 기술한 방정식이다. 오일러 방정식은 뉴턴의 운동 제2법칙으로부터 유도가 가능하다. 뉴턴의 운동 제2법칙은:

뉴턴의 운동 제2법칙을 유체에도 적용을 해보자. 유속이 이고, 가 시간 에 영향을 받는 변수라고 하면, 유체의 가속도는 다음과 같다.

미소 유체 시스템에서 가해지는 힘은 중력과 미소체적 의 표면에 가해지는 힘이 있다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같다.

중력에 의해 작용하는 힘은 이다. 미소체적 에 작용하는 힘은 두가지가 있다. 하나는 압력에 의한 힘이 있고, 다른 하나는 유체의 점성에 의한 점성력이 있다. 오일러 방정식은 비점성 유체에 관해 기술하므로 미소체적의 표면에 작용하는 힘은 압력에 의한 힘과 같다.

미소체적에서 압력에 대한 도식은 아래와 같다.

축 에서 압력에 의해 받는 힘은 이다. 이를 3차원 모두에 적용하면 다음과 같다.

따라서 전체 미소체적에 작용하는 힘은:

힘을 질량(밀도 체적) 나누면 가속도와 같으므로 다음의 식이 성립한다.

점성이 있는 유체의 경우 오일러 방정식만으로 정확한 운동량 계산이 어려우므로, 점성력 또한 고려하여 계산하여야 한다. 유체의 점성에 의한 점성력은 점성응력 텐서()를 이용하여 구할 수 있다. 비압축성 유체에서의 점성응력 텐서 는 다음과 같다.

아래에는 미소체적에서 방향으로의 응력을 나타낸 그림이다. 이를 생각하면서 방향으로의 응력을 모두 나타낼 수 있다.

그림을 모든 축에 대해 생각해 보면 축 각각에 해당하는 점성력을 알 수 있다.

미소체적의 점성력에 의한 영향은 점성응력 텐서의 발산항과 그 미소체적의 곱과 같다는 것을 알 수 있다. 미소체적을 제외하고 고려하면:

비압축성 유체에서 이므로, 비압축성 유체에서 점성력은 다음과 같이 정리할 수 있다.

비압축성, 점성 유체의 운동량을 기술하려면 비압축성, 비점성 유체의 운동량 방정식인 오일러 방정식의 좌변에 점성항인 를 추가하면 된다. 따라서 비압축성, 점성 유체의 운동량 방정식인 나비에-스토크스 방정식은 아래와 같다.

또는 아인슈타인 표기법을 사용하면: