레이놀즈 평균화된 나비에-스토크스 방정식
난류를 관찰할 때, 일일이 모든 fluctuation을 관찰하는 것은 매우 어렵고, 비용도 엄청나다. 무엇보다 변동 성분이 매우 무작위적이기 때문에, 순수하게 단순하게 유속을 가지고 임의의 점에서의 운동을 분석하기 어렵다. 따라서 레이놀즈 분해 와 시간 평균을 통해 분석하게 되는데, 유체의 운동량을 기술한 나비에-스토크스 방정식 또한 난류를 분석할 때 두 가지 방법을 통해 분석한다.
레이놀즈 평균화된 나비에-스토크스 방정식의 유도
먼저 외력(중력, 전자기력 등)을 제외한 나비에-스토크스 방정식은 다음과 같다:
이를 아인슈타인 표기법과 레이놀즈 분해를 이용하면:
이제 분해한 나비에-스토크스 방정식을 시간 평균시켜주면:
각 항을 다음과 같이 정리할 수 있다:
정리된 항을 다시 대입하고 이항하면 다음과 같은 레이놀즈 평균화된 나비에-스토크스 방정식이 나온다:
레이놀즈 평균화된 나비에-스토크스 방정식의 의미
레이놀즈 평균화된 나비에-스트크스 방정식은 각 항이 담긴 의미가 있는데, 이는 다음과 같다:
NavierStokes-eqn
1. Unsteady Term (비정상 항)
- 설명: 시간 평균 속도
의 시간에 의한 변화율을 의미한다. - 의미: 유체 요소의 평균 운동량이 시간에 따라 변하는 정도를 나타낸다. 정상 상태 유동의 경우 0 이다.
2. Convective Term (대류 항)
- 설명: 시간 평균 유속
이 평균 유동 에 의해 공간적으로 이송되는 효과를 가지고 있다. - 의미: 유체 요소가 이동하면서 자신의 운동량을 다른 위치로 전달하는 것을 나타낸다. 한 점에서의 유속
이 주변 유체의 평균 유속에 의해 변화하는 것( )을 나타내는 것으로서, 유체의 운동량이 유체의 이동에 따라 전달되기 때문에 대류 항이라고 한다. 이 항은 비선형성을 가지고 있으며, 유체 운동 중 가장 복잡한 부분 중 하나이다.
3. Pressure gradient Term (압력 그래디언트 항)
- 설명: 시간 평균 압력
의 공간적인 변화에 따른 힘을 나타낸다. - 의미: 압력의 차이로 인해 유체가 가해지는 단위 부피 당 힘을 나타낸다.
4. Viscous diffusion Term (점성 확산 항)
- 설명: 시간 평균 유속
의 유체 점성에 의한 운동량의 확산을 나타낸 항이다. - 의미: 유체 내부의 마찰(점성)에 의해 발생하는 운동량 수송을 나타낸다. 이는 레이놀즈 응력에 의한 영향을 크게 받는 난류와 다르게, 운동량 교환이 점성력에 의해 지배적으로 나타나는 층류에서 중요하게 작용한다.
5. Reynolds stress Term (레이놀즈 응력 항)
- 설명: 난류의 변동 성분
와 의 상관 관계에서 발생하는 추가적인 운동량 수송을 나타낸다. 여기서 를 레이놀즈 응력 텐서(Reynolds stress tensor, )라고 한다. - 의미: 이 항은 RANS 방정식에서 가장 중요한 항이자 난류 모델링의 “종결 문제(closure problem)“를 야기하는 핵심이다. 난류 유동에서는 속도의 불규칙한 변동으로 인해 추가적인 “겉보기 응력(apparent stress)“이 발생하며, 이것이 평균 유동에 미치는 영향을 나타낸다. 이 항은 순간적인 나비에-스토크스 방정식에는 없던 새로운 항이며, 평균화 과정을 통해 나타난다.
- 문제점: 레이놀즈 응력 텐서는 6개의 미지의 성분
을 포함한다. 그러나 RANS 방정식 자체로는 이 미지수들을 풀 수 없기 때문에, 이 항을 평균 속도 구배와 같은 알려진 양으로 표현하기 위한 **난류 모델(Turbulence Model)**이 필요하다. 모델, 모델 등이 이 레이놀즈 응력 항을 모델링하는 대표적인 방법이다.